توانهای کسری گراف، رنگ آمیزی و عدد رنگی آنها

نظریه ی گراف یکی از معدود شاخه های ریاضی است که تاریخ دقیق پیدایش آن مشخص است. نخستین مقاله ی مربوط به گراف ها را لئونارد اویلر‎ (1707-1783)‎‎ میلادی ریاضی دان سوئیسی نوشت. شاید زمانی که اویلر در سال ‎1736‎ این مقاله را منتشر می نمود، تصور نمی کرد که این مبحث در طول کمتر از سه قرن به یکی از بزرگ ترین شاخه های ریاضیات مبدل شود. اویلر یکی از تأثیرگذارترین افراد در تاریخ علوم است و مقاله ی خود درباره ی گراف ها را با بررسی معمایی به نام مسأله ی پل های کونیگسبرگ‎ آغاز کرد.‎ می توان گفت نظریه ی گراف یکی از پرکاربردترین موضوعات ریاضیات است و با بسیاری از شاخه های دیگر علم مانند علوم کامپیوتر، شیمی، مخابرات، اینترنت و سایر شبکه های ارتباطی در تعامل است. هم چنین ارتباط این شاخه از ریاضیات با سایر شاخه های ریاضی همانند تحقیق در عملیات، جبر و حتی آمار و احتمال بر کسی پوشیده نیست. به عنوان مثال یک شبکه ی ارتباطی ‎ n ‎ را در نظر بگیرید که توسط گراف ‎ g ‎ آن را مدل سازی کرده ایم. گراف متناظر با این شبکه ی ارتباطی را ‎ g(n) ‎ می نامیم. اگر این شبکه ی ارتباطی شبکه ای باشد که اندازه ی آن تغییر نکند آن گاه می توانیم برای تجزیه وتحلیل این شبکه در هر زمانی از گراف ‎ g(n) ‎ استفاده کنیم. اما اگر این شبکه ی ارتباطی شبکه ای باشد که به مرور زمان رشد کند، بزرگ تر شود و تغییر کند آن گاه برای تحلیل و پوشش این شبکه ی ارتباطی، نیاز به گرافی خواهیم داشت که متناسب با تغییرات شبکه ی اولیه تغییر کند که به طور قطع، این تغییرات بر روی پارامترهای گراف تأثیرگذار خواهد بود. این رشد و تغییر، هم می تواند در اندازه و هم می تواند در مرتبه ی گراف باشد. موضوع این رساله با مدل سازی شبکه های در حال تغییر ارتباط پیدا می کند که به اختصار به آن اشاره می شود فصل سوم این رساله به رنگ آمیزی توان های کسری گراف اختصاص یافته است. مبحث فصل چهارم که متفاوت از مبحث فصل های قبلی است یک ارتباط بین دو شاخه از ریاضیات یعنی نظریه ی گراف و تحقیق در عملیات را به تصویر می کشد.